TOÁN 12 · KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Nguyên hàm và tích phân

Phân biệt nguyên hàm, tích phân xác định và diện tích; dùng đúng công thức ở từng bước.

01 · Nguyên hàm cơ bản

F là một nguyên hàm của f trên khoảng K nếu F′(x) = f(x) với mọi x ∈ K. Các nguyên hàm của f trên K có dạng F(x) + C.

∫ x^α dx = x^α+1/(α + 1) + C (α ≠ −1)
∫ (1/x) dx = ln|x| + C
∫ eˣ dx = eˣ + C
∫ cos x dx = sin x + C
∫ sin x dx = −cos x + C

Các công thức được dùng trên khoảng mà biểu thức xác định; với số mũ thực bất kỳ, công thức lũy thừa luôn dùng được trên x > 0.

Nếu f liên tục trên [a; b] và F là một nguyên hàm của f thì:

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)

Tích phân có tính tuyến tính: có thể tách tổng, hiệu và đưa hằng số ra ngoài dấu tích phân.

S = ∫_a^b |f(x) − g(x)| dx

Tìm giao điểm và chia đoạn theo dấu của f(x) − g(x) trước khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Diện tích giới hạn bởi y = x², trục hoành, x = 0 và x = 2 là S = ∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3.

Lỗi cần tránh: Không thêm + C vào kết quả tích phân xác định. Diện tích luôn không âm; tích phân có thể âm.

Tính diện tích giới hạn bởi y = x, trục hoành, x = −1 và x = 1.

Xem lời giải

S = ∫₋₁¹ |x| dx = ∫₋₁⁰ (−x) dx + ∫₀¹ x dx = 1. Trong khi đó ∫₋₁¹ x dx = 0.