TOÁN 10 · SƠ ĐỒ TƯ DUY

Hàm số bậc hai

Dùng đỉnh và hệ số a để phác nhanh parabol, sau đó kết nối đồ thị với bất phương trình.

Hàm số bậc hai

Hình dángDấu a → Bề lõm

Đỉnh & trụcx₀ = −b/(2a)

Dấu tam thứcΔ → Nghiệm → Xét dấu

01 · Những dữ kiện quyết định đồ thị

y = ax² + bx + c (a ≠ 0), Δ = b² − 4ac
Đỉnh I(−b/(2a); −Δ/(4a))
Trục đối xứng: x = −b/(2a)

Nếu a > 0, parabol có bề lõm hướng lên và đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh. Nếu a < 0, bề lõm hướng xuống và đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh.

Đặt x₀ = −b/(2a). Với a > 0: hàm nghịch biến trên (−∞; x₀), đồng biến trên (x₀; +∞). Với a < 0, các chiều biến thiên đảo lại.

Δ < 0: tam thức luôn cùng dấu với a.
Δ = 0: cùng dấu với a, trừ nghiệm kép tại đó bằng 0.
Δ > 0: cùng dấu a ngoài hai nghiệm, trái dấu a trong hai nghiệm; bằng 0 tại nghiệm.

y = x² − 2x − 3 = (x − 1)² − 4 có đỉnh I(1; −4), trục x = 1, cắt trục hoành tại −1 và 3.

Suy ra x² − 2x − 3 ≤ 0 ⇔ x ∈ [−1; 3].

Mẹo xử lý: Khi cần tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất, thử đưa hàm số về dạng a(x − x₀)² + y₀.

Tìm giá trị lớn nhất của y = −2x² + 4x + 1 trên ℝ.

Xem lời giải

y = −2(x − 1)² + 3 ≤ 3. Giá trị lớn nhất là 3 khi x = 1.