Giới hạn và tính liên tục

Phân biệt giá trị tại điểm với giới hạn khi tiến đến điểm, rồi chọn phép biến đổi phù hợp.

01 · Ý nghĩa giới hạn

Giới hạn lim_x→a f(x) mô tả giá trị mà f(x) tiến gần khi x tiến đến a, với x ≠ a. Giới hạn có thể tồn tại ngay cả khi f(a) chưa xác định.

02 · Dạng 0/0: biến đổi trước, thay số sau

1. Thử thay x = a để nhận dạng.
2. Nếu có dạng 0/0, phân tích nhân tử hoặc nhân liên hợp.
3. Rút gọn với điều kiện x ≠ a.
4. Tính giới hạn của biểu thức đã rút gọn.

03 · Liên tục tại một điểm

Hàm số liên tục tại a khi f(a) xác định, giới hạn khi x → a tồn tại và:

Với hàm cho theo từng khoảng, tính giới hạn bên trái và bên phải. Hai giới hạn phải bằng nhau và bằng giá trị hàm tại điểm ghép.

04 · Ví dụ minh họa

Cho f(x) = (x² − 4)/(x − 2) nếu x ≠ 2 và f(2) = m. Hàm số liên tục tại 2 khi và chỉ khi m = 4.

05 · Tự kiểm tra

Tính lim_{x$\overrightarrow{0}$} [√(1 + x) − 1]/x.