TOÁN 11 · PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Cấp số cộng và cấp số nhân
Nhận dạng dãy bằng hiệu hoặc tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp.
01 · Cấp số cộng
Mỗi số hạng sau bằng số hạng trước cộng với một số d không đổi.
un+1 = un + d
un = u₁ + (n − 1)d
Sn = n(u₁ + un)/2 = n[2u₁ + (n − 1)d]/2
un = u₁ + (n − 1)d
Sn = n(u₁ + un)/2 = n[2u₁ + (n − 1)d]/2
02 · Cấp số nhân
Mỗi số hạng sau bằng số hạng trước nhân với một số q không đổi.
un+1 = q·un
un = u₁qn−1
Sn = u₁(1 − qn)/(1 − q) (q ≠ 1)
q = 1 ⇒ Sn = nu₁
un = u₁qn−1
Sn = u₁(1 − qn)/(1 − q) (q ≠ 1)
q = 1 ⇒ Sn = nu₁
03 · Chọn phương pháp
- Chênh lệch không đổi → kiểm tra cấp số cộng.
- Tỉ số không đổi → kiểm tra cấp số nhân, với số hạng ở mẫu khác 0.
- Biết hai số hạng → viết hai phương trình theo u₁ và d hoặc q.
- Câu hỏi tổng n số hạng → xác định loại cấp số trước khi dùng công thức Sₙ.
04 · Ví dụ minh họa
Dãy 3, 7, 11, 15, … là cấp số cộng với u₁ = 3, d = 4. Suy ra u₂₀ = 3 + 19·4 = 79 và S₂₀ = 20(3 + 79)/2 = 820.
Mẹo xử lý: Số hạng thứ n cách số hạng đầu n − 1 bước. Đây là vị trí dễ nhầm nhất trong công thức.
05 · Tự kiểm tra
Cấp số nhân có u₁ = 2, q = 3. Tính u₅ và S₅.
Xem lời giải
u₅ = 2·3⁴ = 162. S₅ = 2(1 − 3⁵)/(1 − 3) = 242.